Materi :
judul : Rangkuman Materi Polynomial dan contoh soalnya
Rangkuman Materi Polynomial dan contoh soalnya
1. Bentuk umum polynomial derajat n : P(x) = aₔxⁿ + aₔ₋₁xⁿ⁻ⁱ + an₋₂xⁿ⁻² + … + a₂x² + a₁x + a₀
2. Penjumlahan dan pengurangan : f(x) = 2x⁴ - 3x² + 5x – 6, g(x) = 2x³ - 7x + 10
f(x) + g(x) => 2x⁴ + 0x³ – 3x² + 5x – 6
0x⁴ + 2x³ + 0x² - 7x + 10 +
2x⁴ + 2x³ – 3x² – 2x + 4
3. Menentukan nilai polynomial :
a. Dengan cara substitusi :
contoh : Tentukan nilai dari P(x) = 3x⁴ + 2x² - 5x + 6 untuk x = 2
Jawab : nilai polynomial untuk x = 2 => P(2) = 3(2)⁴ + 2(2)² - 5(2) + 6 = 48 + 8 – 10 + 6 = 52
b. Dengan skema :
| 3 0 2 -5 6
2 | 6 12 28 46 +
3 6 14 23 |52 ==> P(2)
Suku banyak f(x) = 2x⁵ – 3x⁴ + 2x³– px + 10, untuk x = 2 adalah f(2) = 38. Berapakah nilai p?
| 2 -3 2 0 -p 10
2 | 4 2 8 16 2(-p+16) +
2 1 4 8 -p+16 |10 – 2p + 32 ==> f(2)
f(2) = 42 – 2p ==> 38 = 42 – 2P <=> 2P = 4 <=> P = 2
4. Pembagian suku banyak
P(x) : B(x) = H (x) + S ==> P(x) => polynomial; B(x) => pembagi; H(x) => hasil bagi; S => sisa
pembagian Sisa pembagian oleh (x - k) terhadap P(x) = aₔxⁿ + aₔ₋₁xⁿ⁻ⁱ + an₋₂xⁿ⁻² + … + a₂x² + a₁x +
a₀ adalah P(x) => P(x) = (x – k)H(x) + S; dimana S = P(k)
Contoh 1 : (x³ - 7x² + 4x + 50) : (x – 3) = x² - 4x – 8 dengan sisa = 26
Cara 1 pembagian bersusun :
x² - 4x - 8 => hasil pembagian
x-3 | x³ - 7x² + 4x + 50
| x³ - 3x²-
- 4x² + 4x
- 4x² + 12x -
-8x + 50
-8x + 24 -
26; ==> sisa pembagian
Cara 2 :
3 | 1 -7 4 50
| 3 -12 -24 +
1 -4 -8 | 26 ==> sisa pembagian
Hasil pembagian: 1x² - 4x – 8
Cara 3 :
Sisa pembagian oleh x – 3 => x = 3 => sisa = P(3)
P(x) = x³ - 7x² + 4x + 50 = 3³ - 7.3² + 4.3 + 50 = 27 – 63 + 12 + 50 = 26
Contoh 2 : (x³ - 7x² + px + 50) : (x – 3) sisa 26, tentukan nilai p
Jawab :
Sisa = P(3) => 26 = 3³ - 7.3² + p.3 + 50
<=> 26 = 27 – 63 + 3p + 50
<=> 26 = 14 + 3p <=> 3p = 12 <=> p = 4
b. Pembagian suku banyak oleh (ax + b)
P(x) : (ax + b) <=> P(x) = (x + b/a) H(x) + sisa <=> P(x) = 1/a (ax + b)[H(x)/a] + sisa <=> P(x) = (ax + b)H(x) + sisa
Contoh : Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari (4x³ - 10x² + 14x – 15) : (2x – 5)
Jawab :
x = 5/2 | 4 -10 14 -15
| 10 0 35
4 0 14 |20 => sisa
Hasil bagi : (4x2+0x+14)/2=2x2+7
c. Pembagian suku banyak oleh ax2+bx+c dengan a≠0
= (px + q)(rx + t).H(x) + (A₁x + A₀)
Untuk x = -q/p diperoleh P(-q/p) = 0.H(x) + (-q/pA₁ + A₀) => P(-q/p) = -q/pA₁ + A₀
Untuk x = -t/r diperoleh P(-t/r) = 0.H(x) + (-t/rA₁ + A₀) => P(-t/r) = -t/rA₁ + A₀
Dengan eliminasi dapat diperoleh nilai A1 dan Ao (sisa pembagian)
Contoh : Tentukan hasil pembagian dan sisa dari : (x³ - x² + 4x – 4) : (x² - 1)
Jawab :
(x³ - x² + 4x – 4) : (x² - 1) = (x³ - x² + 4x – 4) : (x - 1)(x + 1)
x = 1 | 1 -1 4 -4
| 1 0 4 +
1 0 4 |0 => sisa => 1 A₁ + A₀ = 0
x = -1 | 1 -1 4 -4
| -1 2 -6 +
1 -2 6 |-10 => sisa => -1A₁ + A₀ = - 10
Eliminasi :
1 A₁ + A₀ = 0
-1 A₁ + A₀ = -10 +
0 +2A₀ = -10
A₀ = -5 => 1A₁ + -5 = 0 => A₁ = 5 Jadi sisa pembagiannya = 5x – 5
Hasil pembagiannya :
x – 1 => hasil pembagian
x² - 1 | x³ - x² + 4x – 4
x³ - x -
-x² + x
-x² + 1 -
x – 1 – 4 => sisa pembagian
Contoh 2 : (2x⁴ – 3x³ + 5x² + x – 7) : (x² – x + 3) = …
Karena pembagi x² – x + 3 tidak dapat difaktorkan maka :
2x² – x => hasil pembagian
x² - x + 3 | 2x⁴ – 3x³ + 5x² + x – 7
2x⁴ - 2x³ + 6x² -
- x³ - x² + x
- x³ - x² - 3x -
- 2x –7 => sisa pembagian
Teorema Sisa
Jika suku banyak P(x) yang berderajat n dibagi dengan (ax + b) maka sisanya adalah P(-b/a)
Jika suku banyak P(x) yang berderajat n dibagi dengan (x – a)(x – b) maka sisanya adalah A₁x + A₀ dimana P(a) = A₁a + A₀ dan P(b) = A₁b + A₀
Teorema Faktor
(ax + b) adalah factor dari P(x) jika P(-b/a) = 0
Jika P(p) = 0 maka p adalah pembagi a₀
Diketahui, P(x) suku banyak dengan bentuk: P(x) = aₔÿⁿ + aₔ₋₁ÿⁿ⁻ⁱ + an₋₂ÿⁿ⁻² + … + a₂ÿ² + a₁ÿ + a₀, (x – k) adalah factor linear P(x) berderajat n maka persamaan P(x) = 0 maksimum mempunyai n buah akar.
Contoh 1: Tentukan akar-akar persamaan x² – 2x – 3 = 0
Jawab :
Kemungkinan akar dari persamaan adalah pembagi bulat dari a₀ => pembagi bulat dari – 3 adalah 1, - 1, 3, -3. Karena P(x) berderajat 2 maka paling banyak akar dari p(x) adalah 2.
Contoh 2: Tentukan akar-akar persamaan 2x² – x – 3 = 0
Jawab :
2x² – x – 3 = x² – ½ x – ³∕₂
Kemungkinan akar dari persamaan adalah pembagi bulat dari a₀ => pembagi bulat dari – ³∕₂ adalah 1, - 1, ³∕₂, -³∕₂. Karena P(x) berderajat 2 maka paling banyak akar dari p(x) adalah 2.
2. Penjumlahan dan pengurangan : f(x) = 2x⁴ - 3x² + 5x – 6, g(x) = 2x³ - 7x + 10
f(x) + g(x) => 2x⁴ + 0x³ – 3x² + 5x – 6
0x⁴ + 2x³ + 0x² - 7x + 10 +
2x⁴ + 2x³ – 3x² – 2x + 4
3. Menentukan nilai polynomial :
a. Dengan cara substitusi :
contoh : Tentukan nilai dari P(x) = 3x⁴ + 2x² - 5x + 6 untuk x = 2
Jawab : nilai polynomial untuk x = 2 => P(2) = 3(2)⁴ + 2(2)² - 5(2) + 6 = 48 + 8 – 10 + 6 = 52
b. Dengan skema :
| 3 0 2 -5 6
2 | 6 12 28 46 +
3 6 14 23 |52 ==> P(2)
Suku banyak f(x) = 2x⁵ – 3x⁴ + 2x³– px + 10, untuk x = 2 adalah f(2) = 38. Berapakah nilai p?
| 2 -3 2 0 -p 10
2 | 4 2 8 16 2(-p+16) +
2 1 4 8 -p+16 |10 – 2p + 32 ==> f(2)
f(2) = 42 – 2p ==> 38 = 42 – 2P <=> 2P = 4 <=> P = 2
4. Pembagian suku banyak
P(x) : B(x) = H (x) + S ==> P(x) => polynomial; B(x) => pembagi; H(x) => hasil bagi; S => sisa
pembagian Sisa pembagian oleh (x - k) terhadap P(x) = aₔxⁿ + aₔ₋₁xⁿ⁻ⁱ + an₋₂xⁿ⁻² + … + a₂x² + a₁x +
a₀ adalah P(x) => P(x) = (x – k)H(x) + S; dimana S = P(k)
Contoh 1 : (x³ - 7x² + 4x + 50) : (x – 3) = x² - 4x – 8 dengan sisa = 26
Cara 1 pembagian bersusun :
x² - 4x - 8 => hasil pembagian
x-3 | x³ - 7x² + 4x + 50
| x³ - 3x²-
- 4x² + 4x
- 4x² + 12x -
-8x + 50
-8x + 24 -
26; ==> sisa pembagian
Cara 2 :
3 | 1 -7 4 50
| 3 -12 -24 +
1 -4 -8 | 26 ==> sisa pembagian
Hasil pembagian: 1x² - 4x – 8
Cara 3 :
Sisa pembagian oleh x – 3 => x = 3 => sisa = P(3)
P(x) = x³ - 7x² + 4x + 50 = 3³ - 7.3² + 4.3 + 50 = 27 – 63 + 12 + 50 = 26
Contoh 2 : (x³ - 7x² + px + 50) : (x – 3) sisa 26, tentukan nilai p
Jawab :
Sisa = P(3) => 26 = 3³ - 7.3² + p.3 + 50
<=> 26 = 27 – 63 + 3p + 50
<=> 26 = 14 + 3p <=> 3p = 12 <=> p = 4
b. Pembagian suku banyak oleh (ax + b)
P(x) : (ax + b) <=> P(x) = (x + b/a) H(x) + sisa <=> P(x) = 1/a (ax + b)[H(x)/a] + sisa <=> P(x) = (ax + b)H(x) + sisa
Contoh : Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari (4x³ - 10x² + 14x – 15) : (2x – 5)
Jawab :
x = 5/2 | 4 -10 14 -15
| 10 0 35
4 0 14 |20 => sisa
Hasil bagi : (4x2+0x+14)/2=2x2+7
c. Pembagian suku banyak oleh ax2+bx+c dengan a≠0
- Jika ax2+bx+c dapat difaktorkan, maka :
= (px + q)(rx + t).H(x) + (A₁x + A₀)
Untuk x = -q/p diperoleh P(-q/p) = 0.H(x) + (-q/pA₁ + A₀) => P(-q/p) = -q/pA₁ + A₀
Untuk x = -t/r diperoleh P(-t/r) = 0.H(x) + (-t/rA₁ + A₀) => P(-t/r) = -t/rA₁ + A₀
Dengan eliminasi dapat diperoleh nilai A1 dan Ao (sisa pembagian)
- Jika pembagi (ax² + bx + c) TIDAK dapat difaktorkan, maka harus digunakan dengan cara pembagian biasa
Contoh : Tentukan hasil pembagian dan sisa dari : (x³ - x² + 4x – 4) : (x² - 1)
Jawab :
(x³ - x² + 4x – 4) : (x² - 1) = (x³ - x² + 4x – 4) : (x - 1)(x + 1)
x = 1 | 1 -1 4 -4
| 1 0 4 +
1 0 4 |0 => sisa => 1 A₁ + A₀ = 0
x = -1 | 1 -1 4 -4
| -1 2 -6 +
1 -2 6 |-10 => sisa => -1A₁ + A₀ = - 10
Eliminasi :
1 A₁ + A₀ = 0
-1 A₁ + A₀ = -10 +
0 +2A₀ = -10
A₀ = -5 => 1A₁ + -5 = 0 => A₁ = 5 Jadi sisa pembagiannya = 5x – 5
Hasil pembagiannya :
x – 1 => hasil pembagian
x² - 1 | x³ - x² + 4x – 4
x³ - x -
-x² + x
-x² + 1 -
x – 1 – 4 => sisa pembagian
Contoh 2 : (2x⁴ – 3x³ + 5x² + x – 7) : (x² – x + 3) = …
Karena pembagi x² – x + 3 tidak dapat difaktorkan maka :
2x² – x => hasil pembagian
x² - x + 3 | 2x⁴ – 3x³ + 5x² + x – 7
2x⁴ - 2x³ + 6x² -
- x³ - x² + x
- x³ - x² - 3x -
- 2x –7 => sisa pembagian
Teorema Sisa
Jika suku banyak P(x) yang berderajat n dibagi dengan (ax + b) maka sisanya adalah P(-b/a)
Jika suku banyak P(x) yang berderajat n dibagi dengan (x – a)(x – b) maka sisanya adalah A₁x + A₀ dimana P(a) = A₁a + A₀ dan P(b) = A₁b + A₀
Teorema Faktor
(ax + b) adalah factor dari P(x) jika P(-b/a) = 0
Jika P(p) = 0 maka p adalah pembagi a₀
Diketahui, P(x) suku banyak dengan bentuk: P(x) = aₔÿⁿ + aₔ₋₁ÿⁿ⁻ⁱ + an₋₂ÿⁿ⁻² + … + a₂ÿ² + a₁ÿ + a₀, (x – k) adalah factor linear P(x) berderajat n maka persamaan P(x) = 0 maksimum mempunyai n buah akar.
Contoh 1: Tentukan akar-akar persamaan x² – 2x – 3 = 0
Jawab :
Kemungkinan akar dari persamaan adalah pembagi bulat dari a₀ => pembagi bulat dari – 3 adalah 1, - 1, 3, -3. Karena P(x) berderajat 2 maka paling banyak akar dari p(x) adalah 2.
- Untuk k = 1=> P(1) = (1)² – 2(1) – 3 = 1 – 2 – 3 = - 4, P(1) ≠ 0 maka x = 1 bukan factor P(x)
- Untuk k = -1 => P(-1) = (-1)² – 2(-1) – 3 = 1 + 2 – 3 = 0, P(-1) = 0 maka x = -1 factor P(x) => (x + 1) factor P(x)
- Untuk k = 3 => P(3) = (3)² – 2(3) – 3 = 9 – 6 – 3 = 0, P(3) = 0 maka x = 3 factor P(x) => (x – 3) factor P(x)
- Untuk k = -3 => P(-3) = (-3)² – 2(-3) – 3 = 9 + 6 – 3 = 12, P(-3) ≠ 0 maka x = -3 bukan factor P(x). Jadi hasil pemfaktoran x² – 2x – 3 = (x + 1)(x – 3)
Contoh 2: Tentukan akar-akar persamaan 2x² – x – 3 = 0
Jawab :
2x² – x – 3 = x² – ½ x – ³∕₂
Kemungkinan akar dari persamaan adalah pembagi bulat dari a₀ => pembagi bulat dari – ³∕₂ adalah 1, - 1, ³∕₂, -³∕₂. Karena P(x) berderajat 2 maka paling banyak akar dari p(x) adalah 2.
- Untuk k = 1 => P(1) = (1)² – ½(1) – ³∕₂ = 1 – ½ – ³∕₂ = - ½ , P(1) ≠ 0 maka x = 1 bukan factor P(x)
- Untuk k = -1 => P(-1) = (-1)² – ½(-1) – ³∕₂ = 1 + ½ – ³∕₂ = 0, P(-1) = 0 maka x = -1 factor P(x) => (x + 1) factor P(x)
- Untuk k = ³∕₂ => P(³∕₂) = (³∕₂)² – ½ (³∕₂) – ³∕₂ = ⁹⁄₄ – ³⁄₄ – ³∕₂ = 0, P(³∕₂) = 0 maka x = ³∕₂ factor P(x) (x – ³∕₂) => (2x – 3) factor P(x)
- Untuk k = -³∕₂ => P(-³∕₂) = (-³∕₂)² – ½ (-³∕₂) – ³∕₂ = ⁹⁄₄ + ³⁄₄ – ³∕₂ = ³∕₂, P(-³∕₂) ≠ 0 maka x = -³∕₂ bukan factor P(x). Jadi hasil pemfaktoran 2x² – x – 3 = (x + 1)(2x – 3)
Demikianlah pembahasan Rangkuman Materi Polynomial dan contoh soalnya
mengenai Rangkuman Materi Polynomial dan contoh soalnya, mudah-mudahan bisa memberi manfaat untuk anda semua. baiklah, sekian postingan tentang materi matematika kali ini.
0 Response to "Rangkuman Materi Polynomial dan contoh soalnya"
Posting Komentar